Na konci léta se na Oslu objevil článek o logice, který bohužel obsahoval zavádějící až nepravdivá tvrzení. Vzhledem k tomu, že Osel je pro mnohé (ostatně i pro mne) zdrojem poznání v oblastech, kterým se sami nevěnují, považuji to za nešťastné. Zkusím to tímto článkem napravit. Pokud chcete o logice vědět víc, nabízím jako průvodce článek "O logice trochu netradičně."

 

První část článku byla o historii logiky, o které zjevně vím méně než autor, tudíž ji přeskočím. Jádrem druhé části článku byla tabulka zkopírovaná z nějaké knihy. Měla tři řádky, v každém se diskutovaly způsoby vyjádření určité logické konstrukce. Autor článku pokaždé připojil svou poznámku o tom, co je tam špatně. Bohužel, všechny tři poznámky jsou chybné. Vezměme to od začátku.

 

V prvním řádku tabulka nabízí jako alternativu k vyjádření implikace "Jestliže p, pak q" větu "p jen tehdy, když q." Autor článku toto označil za chybné. Mi to naopak přišlo jako výstižné vyjádření toho, že q je nutnou podmínkou pro p, jinými slovy, že bez q nelze mít p. Autor na to v diskusi kupodivu reagoval tvrzením, že q nutnou podmínkou není.  Čtenář-laik je z toho asi teď zmaten. V jednom článku se říká, že to nutná podmínka není, teď zase já píšu, že je. Co s tím? Prostě se podíváme na zdroje. Dá se čekat, že čtenář Osla má po ruce Internet, takže může naťukat "necessary condition" do oblíbeného vyhledávače a odpálit. S vysokou pravděpodobností bude první odkaz na Wikipedii, kde hned první věta jasně říká, že q je nutnou podmínkou pro p přesně tehdy, když jsou spolu svázány implikací p => q.

 

Jenže Wikipedia občas nemá pravdu, takže asi spolehlivější bude v dalších odkazech kouknout na ty, které vedou na stránky univerzit, kde učitelé logiky toto vysvětlují. I oni si zdá se myslí, že mám pravdu (alespoň kde jsem se podíval, samozřejmě jsem se nedíval všude).

 

Pokud někdo trpí nedůvěrou k Internetu vůbec, může zalovit v literatuře. Já jsem si vybral pana Tarského, protože je to jeden z uznávaných otců zakladatelů moderní logiky a navíc se na něj autor dotyčného článku jednou odvolával, čili by jej mohl respektovat. Ve své knize Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences (vydání z roku 1994) Tarski na straně 27 nahoře jasně píše, že u implikace "one can express the same idea by saying that the conclusion is ... a NECESSARY CONDITION for the hypothesis" (kapitálky použil on, asi mu to přišlo důležité). Nevím jak vám, mně to přijde jasné. Navíc to má i smysl, viz onen článek "O logice."

 

Nehádáme se tu o prkotinách? Myslím, že ne. Pojem nutné podmínky je naprostý základ pro někoho, kdo logiku používá, zároveň je to věc zcela elementární, v typickém kursu úvodu do logiky se učí hned někde na začátku. Je to asi tak, jako by chtěl někdo dělat profesionálního řidiče a přitom nechápal pojem hlavní a vedlejší silnice. Než přejdeme k druhému řádku tabulky, zastavím se ještě u samotného kritizovaného vyjádření.

 

Napadlo mne, jestli to, že mi bylo jasné, nebylo způsobeno mým profesním postižením či mutací (mám rád matematiku), pro normálního člověka to třeba může být jinak. Tak jsem se obrátil na obvyklého pomocníka a zadal do vyhledávače "jen tehdy když." Musím říct, že jsem byl velice příjemně překvapen, prolétl jsem prvních deset stran odkazů a "normální" lidé tuto vazbu používali správně, přesně podle formální logiky. Třeba na jednom rodičovském diskusním hnízdečku jedna mámina píše: "Kája může do obýváku jen tehdy, když jsme tam my." Říká tedy, že jejich přítomnost v obýváku je nutnou podmínkou pro to, aby tam mohl jejich syn. Implikací bychom to zapsali takto:

 

Jestliže je Kája v obýváku, pak tam jsme i my.

 

Přijde mi, že tato "standardní" forma je u tohoto příkladu mnohem méně sdělná než ona původní forma s "jen tehdy když," takže to doporučení z tabulky není žádný úlet. Každopádně se zdá, že lidé vazbu "jen tehdy když" chápou dobře, možná lépe než přepis "jestliže-pak", který občas působí problémy, a nezdají se být slovem "jen" mateni. Nevím tedy, na základě čeho autor článku dále pod tabulkou označuje použití "jen" za chybu.

 

Ale zpět k tabulce. Druhý řádek se týkal implikace "Jestliže q, pak p" a podle autora článku je to špatně, protože se prý má říkat "Jestliže p, pak q." Tato námitka je zcela nesmyslná, protože p a q jsou jen obecná označení pro základní dvě části implikace a tudíž je možno použít jakýchkoliv písmenek, klidně třeba "Jestliže w, pak d," jen je třeba se jich pak držet. To autoři v druhém řádku dělají, čili formálně je druhý řádek naprosto v pořádku. Konkrétní význam těchto písmenek se určí teprve při aplikaci na určitou konkrétní implikaci. Ukážeme si to v následujícím odstavci.

 

Uvažujme nějakou implikaci, třeba "Jestliže jsem se dožil svých 27. narozenin, tak jsem se dožil i svých 26. narozenin." Pokud bychom použili první řádek tabulky (s implikací p => q), tak pak p bude "dožil 27" a q bude "dožil 26". Podle autora článku není správné říct, že "svých 27. narozenin jsem se mohl dožít jen tehdy, když jsem se dožil svých 26. narozenin." Jenže my tuto implikaci můžeme také naroubovat na řádek druhý (s obecnou implikací q => p), pak ale p bude "dožil 26" a q bude "dožil 27". Kupodivu teď autor článku ve třetím sloupci říká, že správná varianta už je "svých 27. narozenin jsem se mohl dožít jen tehdy, když jsem se dožil svých 26. narozenin." Jinými slovy, autor článku si sám odporuje, protože tutéž vazbu jednou označuje za vadnou a v následujícím řádku ji dokonce sám navrhuje jako správnou.

 

Narážíme tím na věc, která na tabulce podivná je, totiž že se tam implikace dělá dvakrát. První řádek se týká implikace "Jestliže p, pak q" a druhý řádek implikace "Jestliže q, pak p." Jenže jak už jsme viděli, jde o totéž, protože je na nás, jaká písmenka v konkrétním případě použijeme, oba řádky prostě mluví o čtení implikace a zcela zbytečně to dělají dvakrát. Správně tam má být řádek jeden, třeba pro implikaci "Jestliže p, pak q," a ve sloupci "ekvivalentní formy" by pak mělo stát "p jen tehdy, když q," "p je postačující podmínka pro q" a "q je nutná podmínka pro p." (Pro bližší vysvětlení viz "O logice trochu netradičně.") Je možné, že kniha má pro dublování implikace nějaký důvod, ale to z citovaného úryvku nelze posoudit.

 

Ve třetím řádku kritizované tabulky (týkajícím se ekvivalence) má autor poznámku, že "formulace tehdy a jen tehdy je závadná, poněvadž podmínkou je výrok p a nikoliv q." To je tvrzení velice zvláštní vzhledem k tomu, že role obou výroků v ekvivalenci je zcela symetrická. Tato symetrie je samotnou podstatou ekvivalence a právě kvůli symetrii je ekvivalence tak ceněným nástrojem. Je to vidět například již z definice: Ekvivalence p <=> q je pravdivá, jestliže mají výroky p a q vždy stejné pravdivostní ohodnocení. Proto zde tyto výroky evidentně zastávají stejnou roli, každý z nich je podmínkou pro ten druhý.

 

Samozřejmě když je něco nejasné, je nejlepší se obrátit na zdroje. Třeba zrovna Tarski ve výše zmíněné knize na straně 30 jasně píše, že v ekvivalenci je každý z těch dvou výroků nutnou i postačující podmínkou pro ten druhý. Čili i on vidí symetrii ekvivalence. Když jsem ve své reakci pod článkem na tuto základní neznalost upozornil, autor reagoval větou "povězte nám něco o symetričnosti v systému roznětka-trhavina."

Autor své poznámky k tabulce shrnul takto: "V jednoduché tabulce jsou tři logické chyby." Ve skutečnosti je tabulka fakticky dobře, ale autor článku ve svých poznámkách ukázal neznalosti základních věcí z logiky. Jde navíc o věci, které patří mezi nejdůležitější pro ty, kdo logiku opravdu používají.

 

Matematici a logika
Onu druhou část svého článku začal autor tím, že matematici používají pro ekvivalenci "špatnou" vazbu "tehdy a jen tehdy když," která údajně nevyjadřuje souvislost ekvivalence s podmínkou nutnou a postačující. To je zajímavé tvrzení, protože tato vazba se používá minimálně půl století, odpovídající vazba se používá i v jiných jazycích a souvislost s podmínkami je matematikům zjevná.  Navíc se autorova výtka míjí cílem ještě z jiného důvodu. Vědy používají odborný jazyk, který má na rozdíl od obecné češtiny přísnější pravidla používání. To se samozřejmě týká zejména matematiky, která je tak formalizovaná, až tím otravuje životy celých generací studentů. Takže matematici prostě ví, co vazba "tehdy a jen tehdy když" znamená. Z tohoto důvodu je zcela mimo i další autorovo tvrzení, že prý matematici neumí v přirozeném jazyce rozlišovat nutné a postačující podmínky. Matematici v tomto chyby nedělají už z toho prostého důvodu, že se o nic takového ani nesnaží, oni totiž s přirozeným jazykem příliš nepracují (což by opět mohly potvrdit generace týraných studentů).

Asi nejodvážnější autorovo tvrzení ovšem je, že prý snad matematici postačující a nutné podmínky ani nechápou. Asi to zas takové překvapení není: Jak už jsme viděli, autor sám tomu nerozumí, takže logicky považuje za chybné, když to někdo dělá dobře. Je to ale tvrzení silně sporné i vzhledem k historii a současnosti logiky, takže by takový názor rozhodně člověk nečekal od autora, který sám o historii logiky píše. Stačí se podívat do nějaké knihy o jejím vývoji a uvidíme, že mezi prominentními jmény posledních dvou století je nemálo matematiků. Je pro to velice dobrý důvod.

 

Matematika je mezi ostatními vědami unikátní v jednom aspektu: Tvrzení, která předkládá, jsou stoprocentně spolehlivá. Všichni jsme se ve škole učili třeba ten vzorec s odmocninou pro kořeny kvadratické rovnice a zkušenost říká, že pokud ten vzorec správně použijeme (neuděláme výpočetní chybu), tak vždy budou získaná čísla kořeny rovnice, nemůže se stát, že by to nefungovalo. Tato spolehlivost je důvodem, proč se stala matematika důležitým nástrojem pro další vědy, spolehlivost jejich tvrzení a předpovědí se do značné míry odvíjí od toho, kolik matematiky používají (jsou samozřejmě i jiné vlivy, ale to je na mnohem delší povídání, ke kterému navíc nejsem dostatečně fundován).

 

Kde matematika bere tu svou spolehlivost? Právě v tom, že je založena na formální logice. Například ten kvadratický vzoreček je vlastně implikace "Jestliže získáme čísla z toho vzorečku, pak řeší příslušnou rovnici." Takových implikací je spousta (velká část matematiky se zabývá řešením rovnic) a platnost těchto i jiných implikací je ověřena pomocí logiky. Od oka střelím, že matematika je ze tří čtvrtin logika, zbytek algebra a inspirace, někdo by možná dal váhy jinak, ale o to teď nejde. Matematik se v zásadě živí tím, že vymýšlí implikace a ekvivalence a dokazuje je za pomocí logiky. Mimo jiné se musí velice dobře orientovat právě v podmínkách nutných a postačujících, je to pro něj stejný pracovní nástroj jako pro houslistu smyčec.

 

Za této situace je tvrzení autora dotyčného článku velice odvážné a zasluhovalo by si silnou podporu. Jestliže prý mají matematici problém s podmínkami nutnými a postačujícími, tak by se na nějaký takový problém mělo dát poukázat. Když jsem autora článku požádal, zda by své tvrzení mohl nějak podepřít, odpověděl velice zajímavě:

 

"Alfred Tarski ve své knize Úvod do logiky poukazuje na str. 48 na tutéž závadu. Ve své knize proto namísto "tehdy a jen tehdy" zavedl "když a jen když". Jenže tím nic nevyřešil. Utekl jen z deště pod okap. Napsal, cituji: "Stojí za zmínku, že matematikové dávají při zavádění definic přednost slovům "jestliže" nebo "v případě, že" před výrazem "když a jen když". Tak například definici symbolu "menší nebo roven" by dali pravděpodobně tuto formu "Říkáme, že x je menší nebo rovno y, jestliže neplatí, že x je větší než y." Zdá se, jako by taková definice pouze konstatovala, že definiendum vyplývá z definiens, aniž by zdůraznila, že důsledkový vztah platí i v opačném směru, a nevyjadřovala by tedy ekvivalenci definienda a definiens. Ve skutečnosti tu však jde o mlčenlivou dohodu v tom smyslu, že "jestliže" nebo "v případě, že", je-li jich použito ke spojení definienda a definiens, mají mít týž význam jaký má obvyklý výraz "když a jen když".

 

Tato odpověď je zvláštní z několika důvodů. Za prvé, Tarski údajně poukázal na tutéž závadu. Opravdu napsal, že matematici mají problémy s chápáním nutných a postačujících podmínek? Pokud ano, proč to autor nezacitoval? Nevím, co má český překlad, ale v anglické verzi Tarského knihy nic takového nestojí, je tam jen ten odstaveček, který autor opsal. Že by to snad bylo v něm? Zkusme si jej přečíst a trochu přeložit do češtiny. Nejprve drobný úvod.

 

V matematice se definicemi zavádějí jednoduchá jména pro složité věci. Například matematici nehodlají pořád říkat "prostor s operacemi, které splňují následující vlastnosti 1 až 8", tak se prostřednictvím definice dohodnou, že tomu budou říkat "vektorový prostor". Definice je tedy formální prohlášení, které třeba říká, že termín "vektorový prostor" (definiendum, to co se definuje) je totéž, co ta dlouhá fráze (definiens, příslušný dlouhý význam). Z principu je jasné, že zde musí jít o obousměrný proces, o ekvivalenci, například takto: "Budeme říkat, že V je vektorový prostor, tehdy a jen tehdy, když spolu se svými operacemi splňuje vlastnosti 1 až 8."

 

Pan Tarski ale upozorňuje, že matematici říkají jen "jestliže," takže vlastně namísto správné ekvivalence vyslovují implikaci: "Budeme říkat, že V je vektorový prostor, jestliže spolu se svými operacemi splňuje vlastnosti 1 až 8." Pak ovšem vztah není obousměrný a to by samozřejmě bylo špatně. Poslední větou ale Tarski říká, že vlastně o chybu nejde, že matematici ve skutečnosti vědí, že v definicích už z principu musí být ekvivalence, a tak jim přijde zbytečné to pořád vypisovat a píšou jen "jestliže."

 

V tom má naprostou pravdu, matematici vědí, že správně by se měla psát ekvivalence (a pár fajnovek to dokonce dělá), ale zároveň necítí potřebu ty ekvivalence psát, protože to považují za zbytečné (stejně každý matik ví, že to jsou ekvivalence), protože jsou líní, protože by to s tou ekvivalencí vypadalo nemotorně stylisticky a protože se to tak dělá už nejmíň sto let (když to funguje, nevrtej do toho).

 

Co nám tedy z Tarského citátu vyplývá? Nejen že netvrdí, že tomu matematici nerozumí. Naopak, on tam vlastně říká, že tomu rozumí, že vědí, co dělají. Autor článku tedy své odvážné tvrzení nedoložil. Proč tedy ten rozsáhlý citát z Tarského opisoval, když se dané otázky (jak víte, že tomu matici nerozumí) vůbec netýká?

 

Do třetice všeho chybného
Třetí část článku začíná výzvou k zavedení pojmu podmíněného výroku, což samozřejmě autor vyzvat může, a pak přijde, cituji, "příklad dalšího nesmyslu" ze zde kritizované knihy. Autor cituje odstavec a pak píše, že "jde o guláš, kterému nejde porozumět, a je naprosto chybný." Hrozně napsané to tedy je a autoři také chvílemi dělají dost velké a podivné skoky ve svém výkladu, ale chyby v tom úryvku nejsou. Zase se spíše zdá, že je problém na straně autora. Tento odstavec totiž rozebírá různé pohledy na ekvivalenci, a jak už jsme viděli, autor článku má vážné mezery jak u ekvivalence, tak u nutných podmínek; není tudíž překvapivé, že obsahově v zásadě správný text považuje za chybný. Projeví se to například v tabulce pod úryvkem, kde autor píše, jak to údajně má správně být. V prvním sloupečku mu tam chybí "q je nutná podmínka pro p" a v druhém sloupečku mu tam chybí "q je postačující podmínka pro p."

 

Autor se pod tabulkou dál zajímavě zamotává, když se snaží kritizovat citovanou knihu. Například na tvrzení z knihy, že se "p tehdy, když q" píše q => p, namítá následující, cituji: "A co kdyby "p tehdy když q" znamenalo "p tehdy když q"? Bylo by jeho zápisem p => q?" Přiznám se, že tuto námitku nechápu. Samozřejmě, že "p tehdy když q" znamená "p tehdy když q", je to totiž totéž. A jestliže se to psalo jednou jako q => p, tak není důvod to najednou psát naopak jen proto, že si to autor článku přeje, aby mohl kritizovat.

 

Pak autor píše o tom, jak kniha došla k chybnému výsledku, protože údajně rozpojila něco, co mělo zůstat spojeno, jenže ten výsledek je dobře! Výrok "p jen tehdy, když q" se totiž opravdu zapisuje p => q (viz výše), opět tím narážíme na to, že autor článku má problémy s porozuměním implikaci. Opakuji, nezastávám se tím stylu, kterým je citovaný úsek psán, ale faktické chyby v něm nejsou. Další kritické poznámky je těžké posoudit, protože autor článku necituje kontext a sám se mýlil tolikrát, nicméně možná tam i nějaké jsou, chyby se najdou snad v každé větší práci. Každopádně z úderné kritiky knihy zůstane po odečtení omylů autora článku velice málo, snad že to je nešikovně napsaná kniha s občasným přehlédnutím a takových je spousta.