Mario Livio, ve Washingtonu na Mezinárodním knižním festivalu v roce 2013. Kredit: Jason Quinn

Těmito otázkami jsme se trochu z jiné strany zabývali v článku Matematický vesmír Maxe Tegmarka. Další z úryvků z knihy Je Bůh matematik? Přinášíme na Sciencemag.cz Dvě tváře síly matematiky: aktivní a pasivní. Jedna je překvapivější než druhá.

Lidská mysl, matematika a vesmír

Představme si, že by inteligence nepřebývala v lidech, ale v nějaké obrovské, osamocené a izolované medúze, ponořené v hlubinách. Ta by se nikdy nesetkala s jednotlivými objekty a znala by pouze vodu, která ji obklopuje. V takovém čistém kontinuu by nemohla vzniknout nespojitost, a neexistovalo by tak nic, co by se dalo počítat. Jinak řečeno, byl i koncept tak základní jako přirozená čísla stvořen lidmi pomocí abstrakce prvků fyzického světa?

Ale teď už přejděme k úryvku našemu.

Objevy, nebo vynálezy?

„Je matematika vytvářena, nebo objevována?“ je špatně položená otázka, protože z ní plyne, že odpověď musí být buď jedno, nebo druhé a že obě možnosti se vzájemně vylučují. Předkládám zde namísto toho názor, že matematika je zčásti tvořena a zčásti objevována. Lidé obvykle vymýšlejí matematické pojmy a koncepty a objevují vztahy mezi nimi. Formulaci konceptů jistě předcházely nějaké empirické objevy, koncepty samy se však staly pobídkou k objevování vět a pouček. Rovněž bychom měli poznamenat, že někteří filozofové matematiky jako Američan Hillary Putnam zastávají středový postoj známý jako realismus – věří sice v objektivnost matematického diskursu (tedy že výroky jsou pravdivé nebo nepravdivé nezávisle na lidech), avšak na rozdíl od platoniků nejsou přesvědčeni o nezávislé existenci „matematických objektů“. Dovedou nás některé z předestřených postojů k uspokojivému objasnění Wignerovy hádanky „nepochopitelné účinnosti matematiky“?

Pojďme se krátce podívat na některá z možných řešení, jak je navrhli současní myslitelé. Nositel Nobelovy ceny za fyziku David Gross píše:

Stanovisko, které podle mé zkušenosti není mezi tvůrčími matematiky neobvyklé, je, že matematické struktury, k nimž docházejí, nejsou umělé výtvory lidské mysli. Zdá se jim, jako by byly stejně skutečné jako struktury vytvářené fyziky k popisu takzvaného skutečného světa. Matematici, jinak řečeno, novou matematiku nevynalézají, oni ji objevují. Pokud je to tak, pak by to snad některé záhady, které zkoumáme [tj. „nepochopitelnou účinnost“], mohlo poněkud poodhalit. Pokud jde skutečně v matematice o struktury, které jsou reálnými součástmi přirozeného světa, tj. stejně reálnými jako koncepty teoretické fyziky, pak už tolik nepřekvapuje, že matematika je tak účinným nástrojem k analýze reálného světa.

Jinými slovy, Gross se zde opírá o pohled „matematika jako objevování“, který se pohybuje někde mezi platónským světem a světem „vesmír je matematika“, i když blíže je platónskému názoru. Jak jsme ale viděli, představu „matematika jako objevování“ je obtížné filozoficky podložit. Platonismus navíc nedokáže opravdu vyřešit problém fenomenální přesnosti, jak jsme si jej popsali v kapitole 8, což uznává i Gross.

Sir Michael Atiyah, jehož názor na povahu matematiky jsem z větší části přejal, argumentuje následovně:

Podíváme-li se na lidský mozek v jeho evolučním kontextu, pak nám to alespoň zčásti vysvětlí záhadný úspěch matematiky v přírodních vědách. Mozek se vyvinul v zájmu fungování svého nositele ve fyzickém světě, takže by nemělo být divné, že rozvinul určitý jazyk v podobě matematiky, který je k tomu účelu velmi vhodný.

Tento směr uvažování je velmi podobný řešením, která navrhují kognitivní vědci. Atiyah však také uznává, že jeho vysvětlení stěží osvětlí svízelnější části problému – proč matematika objasňuje i některé těžko srozumitelné aspekty fyzického světa. Zejména zůstává zcela otevřena otázka „pasivní“ účinnosti (to, že matematické koncepty nacházejí aplikace dlouho poté, co byly vytvořeny). Atiyah poznamenává: „Skeptik může namítnout, že boj o přežití po nás vyžaduje zvládání přírodních jevů jen v lidském měřítku. Naproti tomu matematické teorie se zjevně úspěšně vyrovnávají se všemi měřítky – od atomů po galaxie.“ Napadá ho jediný náznak řešení tohoto problému: „Vysvětlení snad leží v abstraktní hierarchické povaze matematiky, která umožňuje, abychom se snadno pohybovali mezi různými měřítky, od nejmenších po největší.“

Americký matematik a počítačový vědec Richard Hamming (1915–1998) zpracoval v roce 1980 velmi rozsáhlé a zajímavé pojednání o Wignerově hádance. Co se týče otázky o povaze matematiky, dospěl k soudu, že „matematika byla vytvářena člověkem, a tudíž jím může být neustále měněna“. Poté navrhl čtyři možná vysvětlení nepochopitelné účinnosti matematiky: 1) výběrové efekty; 2) evoluce matematických nástrojů; 3) vysvětlující schopnost matematiky je ve skutečnosti omezená; a 4) lidská evoluce.

Mario Livio: Je Bůh matematik?

Připomeňme si, že výběrový efekt je deformace vnesená do výsledků experimentů buď použitým aparátem, nebo způsobem sběru dat. Pokud kupříkladu při ověřování účinnosti některého dietního programu výzkumník vyřadí každého, kdo pokus nedokončí, povede to ke zkreslení výsledku, protože ti, kdo vypadnou, zřejmě budou právě ti, u nichž daný program nefungoval. Jinak řečeno, Hamming naznačuje, že alespoň v určitých případech „autentický jev vyvstává z matematických nástrojů, které používáme, nikoli z reálného světa ... spousta toho, co vidíme, pochází z brýlí, které jsme si nasadili“. Hamming kupříkladu správně upozorňuje, že lze prokázat, že jakákoli síla, která symetricky vyzařuje z určitého bodu ve trojrozměrném prostoru, by se měla chovat podle zákona nepřímé úměrnosti ke čtverci vzdálenosti, což znamená, že aplikovatelnost Newtonova zákona gravitace by neměla být žádným překvapením. Hammingův postřeh je rozumný, avšak výběrové efekty stěží mohou vysvětlit fantastickou přesnost některých teorií.

Druhé Hammingovo možné řešení se opírá o skutečnost, že lidé si matematiku vybírají a vylepšují tak, aby jim sloužila k řešení dané situace. Hamming se tedy domnívá, že pozorujeme jakousi „evoluci a přirozený výběr“ matematických idejí – lidé vymýšlejí velké množství matematických konceptů a z nich po čase přetrvají jen ty, které se lidem tak či onak hodí. I já jsem si po léta myslel, že v tom spočívá celé vysvětlení problému. S podobným výkladem přišel nositel Nobelovy ceny za fyziku StevenWeinberg v knize Snění o finální teorii. Může být právě toto oním hledaným řešením Wignerovy hádanky? Není pochyb, že takovýto výběr a evoluce se vskutku odehrávají. Vědci zkoumají celou škálu možných matematických teorií a nástrojů a ponechají si ty, které fungují; později neváhají je vylepšit nebo změnit, když se objeví lepší možnosti. I kdybychom však tuto myšlenku přijali, jak to, že existují matematické teorie, které dokážou vysvětlit vesmír jako celek?

Hammingův třetí návrh říká, že náš dojem účinnosti matematiky je možná ve skutečnosti jen iluze, protože ve světě kolem nás je spousta věcí, které matematika nevysvětluje. Na podporu tohoto názoru bych mohl například podotknout, že matematik Israïl Mojsejevič Gelfand jednou řekl: „Existuje jen jedna věc, která je nepochopitelnější než nepochopitelná účinnost matematiky ve fyzice, a tou je nepochopitelná neúčinnost matematiky v biologii.“ Nemyslím si ale, že samo o sobě by to mohlo Wignerův problém plně vysvětlit. Je pravda, že na rozdíl od Stopařova průvodce po Galaxii nemůžeme prohlásit, že odpověď na otázku života, vesmíru a vůbec všeho je 42. Existuje nicméně tak velký počet fenoménů, které matematika skutečně osvětluje, že si to žádá nějaký výklad. Rozsah faktů a procesů, které lze vyložit pomocí matematiky, se navíc neustále rozšiřuje.

Čtvrté Hammingovo vysvětlení je velmi podobné tomu, které navrhuje Atiyah, totiž že „darwinovská evoluce pomocí přirozeného výběru selektuje k přežití ty soupeřící formy života, které disponují nejlepšími modely reality – ´nejlepšími´ znamená nejvýhodnějšími k přežití a rozmnožování.“

Počítačový vědec Jef Raskin (1943–2005), který stál u počátků projektu počítačů Macintosh firmy Apple Computer, zastával podobný názor a zejména zdůrazňoval úlohu logiky. Raskin se domníval, že

lidská logika nám byla vnucena fyzickým světem, a je s ním tudíž v souladu. Matematika pochází z logiky. Proto je matematika v souladu s fyzickým světem. Není v tom žádné tajemství – pocit zázračnosti a úžasu nad povahou věcí bychom však neměli ztrácet, ani když je lépe pochopíme.

Hamming byl však o svém vlastním argumentu přesvědčen méně. Poukázal na to, že

když vezmeme v úvahu 4 000 let vývoje vědy, dostaneme horní hranici 200 generací. Uvážíme-li účinky evoluce, které hledáme v podobě selekce změn o malé pravděpodobnosti, nezdá se mi, že evoluce dokáže vysvětlit více než nevelkou část nepochopitelné účinnosti matematiky.

Raskin naproti tomu tvrdí, že „základy matematiky byly položeny již velmi dávno našimi předky, pravděpodobně během milionů generací“. Musím však podotknout, že tento argument nepovažuji za příliš přesvědčivý. I kdyby logika v mozcích našich předků hluboce zakořenila, těžko vysvětlíme, jak by tato schopnost mohla vést k abstraktním matematickým teoriím subatomárního světa typu kvantové mechaniky, které vykazují tak zarážející přesnost.

Pozoruhodné je, že Hamming uzavřel svůj článek přiznáním, že „všechny možnosti, které jsem zde podal, bohužel nestačí na to, aby vysvětlila, co jsem hodlal objasnit (tj. nepochopitelnou účinnost matematiky), a to ani kdyby všechny tyto faktory působily dohromady.“