Re: Relativistické elektrony

Vladimír Wagner,2016-01-05 14:06:40

Není to dáno hmotností, ale nábojem. Jak roste náboj a intenzita elektrického pole, tedy dostředivá síla, musí růst i síla odstředivá, aby byly v rovnováze. A tedy musí růst i rychlost. Dostává se tak do oblasti, kdy se blíží k rychlosti světla. To vysvětlení je nekvantové, tak trochu na úrovni Bohrova modelu, ale princip vysvětluje správně.

Odpovědět

Re: Re: Relativistické elektrony

František Bednář,2016-01-06 11:58:20

A nedalo by se tohle zároveň interpretovat jako odpověď na dotaz pana Musila ohledně hypotetické max. hmotnosti jádra atomu ? Tedy jinými slovy hranice leží tam, kde by elektrony musely překonat rychlost světla ?

Odpovědět

Re: Re: Re: Relativistické elektrony

Pavel Brož,2016-01-06 14:12:17

Taková hranice daná rychlostí elektronu neexistuje, protože podle speciální teorie relativity se elektrony budou vždycky pohybovat podsvětelnou rychlostí i když se přiblíží libovolně blízko jádru. Pokud by jádro bylo bodové (což navíc není), tak by elektron dosáhl rychlosti světla právě až v okamžiku, kdy by se jej dotkl (tedy když by vzdálenost mezi ním a jádrem byla nulová).

Hypotetický limit na velikost jádra nicméně existuje, nemá ale souvislost s elektronovým obalem, tedy ani s rychlostí elektronů, ale s nábojem jádra. Nukleony jsou v jádře vázány pomocí krátkodosahových sil, které exponenciálně klesají na vzdálenostech větších než je rozměr nukleonu. Oproti tomu elektrická odpudivá síla mezi protony klesá mnohem pomaleji, pouze se čtvercem vzdálenosti. Protože přitažlivá jaderná síla mezi dvěma protony je řádově stokrát větší než odpudivá elektrická, tak do určitého počtu protonů jejich stejný náboj nezpůsobuje nestabilitu jádra. Z podstaty rozdílné rychlosti klesání obou sil se vzdáleností je ale jasné, že někde musí existovat hranice pro počet protonů, nad kterou elektrická odpudivá síla převáží nad jadernou přitažlivou silou.

Ve skutečnosti ale existuje limit i na počet neutronů, ne jenom protonů, díky tomu např. neexistují obří složená jen např. z jediného protonu a mnoha neutronů nebo dokonce jenom z neutronů (s jedinou výjimkou, kterou jsou neutronové hvězdy, které jsou ale dodatečně stabilizované gravitací, kterou v případě normálních jader můžeme zanedbat). V případě limitu na počet neutronů je zapotřebí nasadit sofistikované fenomenologické modely, které takový limit mohou (velice hrubě) určit. I v těchto modelech ale hraje klíčovou roli fakt, že jaderná síla mezi neutrony exponenciálně rychle klesá. Velké jádro se pak tak trochu chová jako kapka vody, která je držena pohromadě krátkodosahovými silami, které se efektivně projevují jako povrchové napětí. I kapka vody je od určité velikosti nestabilní, a v důsledku rotačního či vibračního pohybu se od určité velikosti výše snadno rozpadá na menší kapky.

Odpovědět

Re: Relativistické elektrony

Pavel Brož,2016-01-05 22:36:47

Připojuji se k poděkování za velice pěkný článek, a připojuji jen dílčí informaci týkající se relativistických elektronů v atomu.

Důvod, proč jsou elektrony v těžkých atomech relativistické popsal už Vladimír, já k tomu jen dodávám, že úspěšný popis relativistických elektronů v atomu je dodnes plně nedořešeným teoretickým problémem. Nejprve zrekapituluji jak se postupuje v nerelativistickém případě, kde nemáme žádný principiální problém s popisem elektronového obalu atomu. Napíše se nerelativistický Hamiltonián systému, který sestává z nerelativistické kinetické energie plus z potenciální energie, kterou mají elektrony v elektrickém poli jádra plus v poli buzeném ostatními elektrony. Tento Hamiltonián figuruje ve vlnové rovnici, kterou je v tomto případě nerelativistická Schrödingerova rovnice pro n elektronů. Podle kvantové mechaniky jsou energetické hladiny, na kterých mohou elektrony v atomu pobývat, dány tzv. vlastními hodnotami Hamiltoniánu, a tvary elektronových orbitalů (to jsou ony známé "činky" a "preclíky" známé z ilustrací elektronových obalů) jsou pak dány jako tzv. vlastní funkce Hamiltoniánu. Obojí je vlastně svým způsobem čistě matematická úloha - zadá se vhodný operátor, v našem případě Hamiltonián, který by měl mít diskrétní vlastní hodnoty (ty by navíc měly být omezeny zdola, což garantuje existenci základního stavu), a čistě jen matematickými postupy se z něj vyždímají jeho vlastní hodnoty a vlastní funkce. Vlastní hodnoty (tj. energetické hladiny) se fyzikálně dají měřit ze spekter atomů, vlastní funkce (tj. tvary orbitalů) pak promlouvají do takových věcí, jakými jsou např. úhly mezi atomy v chemických sloučeninách, mohou být ale také zkoumány v rozptylových experimentech, atd. atd..

Pro nerelativistický Hamiltonián procedura popsaná výše aspoň principiálně funguje (v reálu se samozřejmě zkonzumuje šílené množství výpočetního času i velice nabušených počítačových klastrů, pakliže-li se má pro velký počet elektronů dojít k výborné shodě s experimentem), a to protože nerelativistický Hamiltonián má spoustu hezkých vlastností, pro které byly už dávno matematicky dokázány takové věci, jako že třeba má diskrétní spektrum vlastních hodnot a že to je navíc omezené zdola (co více si lze přát).

Situace se radikálně mění v okamžiku, kdy se berou v potaz relativistické efekty. Relativistické efekty mohou být zahrnuty buďto nesystematicky jakožto malé korekce k nerelativistické Schrödingerově rovnici, potom výše uvedený postup stále ještě funguje. Z podstaty věci ale takto jde popsat jenom takové elektronové systémy, v nichž se elektrony sice pohybují už "trošku" relativisticky, ale ne moc (čiliž je takto možné dosáhnout pouze jakéhosi "mírného pokroku v mezích zákona", mám-li parafrázovat Jaroslava Haška). Pokud se ale elektrony pohybují "ještě relativističtěji", tak potom už není možné vystačit si s nerelativistickou Schrödingerovou rovnicí dofutrovanou nejnižšími relativistickými korekcemi, ale je nutné pracovat s plně relativistickou vícečásticovou vlnovou rovnicí. A tady nastává hned několik zásadních problémů.

Prvním z nich je, jaká že by to měla vlastně být rovnice. Často se pracuje např. s vícečásticovou Diracovou rovnicí, existují ale i jiné přístupy, pracující např. se zobecněním Bethe–Salpeterovy rovnice anebo Breitovy rovnice (proč není jednoznačně dané, která z nich by to měla být, zmíním později). Mnohem větším problémem je, že ani pro jednu z nich není dodnes dokázáno ono nezbytné minimum, které požaduje, aby tyto rovnice vedly k diskrétnímu a zdola omezenému spektru vlastních hodnot. Ba dokonce - ó hrůzo!!! - se pro některé z nich podařilo matematicky exaktně dokázat pravý opak, totiž že žádné takové diskrétní a zdola omezené spektrum vlastních hodnot nemají (viz např. článek "Spectral problems about many-body Dirac operators mentioned by Derezinski" na http://arxiv.org/pdf/1403.6900.pdf).

Nyní se zmíním o tom, proč není tak jednoznačné určit, jaká že to relativistická rovnice by měla správně nahradit Schrödingerovu rovnici, pokud chceme adekvátně popisovat relativistické elektrony v supertěžkých atomech. Problém je v tom, že ať už nerelativistická či už nějaká hypotetická relativistická vlnová rovnice může popsat pouze konečný počet částic, v daném případě elektronů - říkáme, že popisujeme kvantově MECHANICKÝ systém, tedy že pracujeme s kvantovou MECHANIKOU. Jakmile se ale vezmou v potaz i relativistické efekty, nutně tam začnou hrát roli i kvantově POLNÍ efekty, jako jsou např. efekty působené vznikem a zánikem virtuálních částic (ty způsobují mj. i takové měřitelné efekty, jako třeba tzv. Lambův posun či hyperjemné rozštěpení energetických hladin, ale také třeba Casimirův efekt aj.). Takové systémy jsou v principu systémy s nekonečným počtem částic, proto už nehovoříme o kvantové mechanice, ale o kvantové teorii pole.

Uspokojivou kvantovou teorii pole máme (dokonce nejen pro elektromagnetickou, ale i pro slabou a silnou interakci). Pro popis elektronového obalu můžeme s klidem zanedbat slabé a silné interakce a vystačit si s kvantovou elektrodynamikou, což je kvantová teorie pole popisující elektromagnetické procesy. Mohli bychom si tedy říct, že prostě vezmeme kvantovou elektrodynamiku, uděláme patřičná přiblížení, a získáme správnou relativistickou alternativu k nerelativistické Schrödingerově rovnici. Tímto postupem opravdu v případě dvou částic postupovat lze, získá se tak např. výše zmíněná Breitova rovnice, která se excelentně osvědčila pro předpověď energetických hladin např. pozitronia, vázaného systému složeného z elektronu a pozitronu. Pro více částic se ale naráží na celou řadu zcela zásadních technických komplikací. A aby toho nebylo málo, tak se dá navíc matematicky exaktně ukázat, že kvantová teorie pole ve čtyřech a více prostoročasových dimenzích (což je na potvoru případ i našeho prostoročasu) v principu neumožňuje popis jakýchkoliv vázaných stavů, tedy ani stabilního elektronového obalu. Trošku to působí dojmem, že démon vymyšlený tvůrcem klasické elektrodynamiky si našel úplně jinou doménu svého působení a zpupně se nám chechtá.

Takže toto je v kostce lesk a bída relativistické kvantové teorie vázaných stavů. Do budoucna to obnáší velice slibné pole výzkumu, na kterém bude ale nezbytné přemoct mnoho dodnes otevřených a dnes neřešitelných problémů. Dokonce není ani vyloučeno, že průlom v této oblasti bude přenositelný do popisu ještě mnohem komplikovanějších relativistických vázaných stavů, kterými jsou právě vázané stavy nukleonů v atomových jádrech či vázané stavy kvarků v nukleonech či mezonech.

Odpovědět