Gary Snyder na Columbia university v roce 2007.  Americký básník, esejista, environmentalista a bítník. Nositel Pulitzerovy ceny. (Foto: Fett – Flickr. Licencováno pod CC BY 2.0 Wikimedia Commons)

Pod kopci u řeky Moravy

Leží tam mezi

mamutími, sobími a vlčími kostmi;

Diadém z liščích zubů na čele

Okr pod kyčlí

26 640 plus minus 110 let před „nyní“.

Kousky spálené sobí pánve

v ústech

Kosti dvou mužů vedle ní

z každé strany jeden.

(Gary Snyder: Hory a řeky bez konce, 1996)

Jedna z velkých postav evropské archeologie první poloviny 20. století, Dr. Karel Absolon. Jeho zásluhou dnes víme nejen o vlčích kostech – „nejstarším to dokumentu pro dějiny matematiky na světě“, ale i pohlednějšími artefakty, jakým je soška z věstonického tábora lovců mamutů.

Ačkoliv je území České republiky ve světovém měřítku maličké, svým dílem se pozoruhodně zapsalo i do dějin matematiky. Do doby asi 30 tisíc let před naším letopočtem se datuje na našem území první, i když ne příliš průkazný doklad číselného záznamu, tzv. věstonická vrubovka, dlouho nejstarší záznam tohoto typu na světě, zastíněná pod Pálavou dříve nalezenou a slavnější Věstonickou venuší a nyní i později nalezeným věstonickým trojhrobem, jak se mohou dozvědět i čtenáři básně amerického spisovatele Garyho Snydera (* 8. května 1930 San Francisco) v básnické sbírce Mountains and Rivers Without End. Před 4 stoletími pak matematik Johann Kepler krátce po odchodu z Prahy do Lince přispěl k výpočtům objemů rotačních těles.

K dochovaným matematickým památkám vztahujícím se k lovectví

Místo posledního odpočinku Moraváka, krasového badatele a zkoumatele „fosilního člověka“ je na Ústředním hřbitově v Brně. (Kredit: Npe, volné dílo, Wikipedia)

Krasový badatel, paleontolog a archeolog Karel Absolon (*16. června 1877 Boskovice +6. října 1960 Brno) vedl systematické výzkumy archeologických lokalit ze starší doby kamenné v létech 1924 až 1938 na katastrech Dolních Věstonic a sousedního Pavlova. Dne 13. července 1925 byla nalezena Věstonická venuše, soška vysoká 11,5 cm a v bocích 4,3 cm široká z jemné hlíny smíchané s vodou s malými bílými zrníčky, což může být vysrážený vápenec nebo úlomky kostí.

Dne 19. srpna 1936 objevil Karel Absolon 18 cm dlouhou vřetenní kost mladého vlka, na níž nalezl 55 zářezů. Od dvou delších, ležících uvnitř řady, jich bylo na jednu stranu (bazálně) 25 a na druhou stranu (terminálně) 30. Tuto kost považoval Absolon za vrubovku a před 2. světovou válkou o svém nálezu publikoval jen 2 krátké zprávy, kompletní výzkumná zpráva byla sepsána až po válce. Ohodnotil ji jako podivuhodnou počítací hůlku, která spadá do motivů geometrické ornamentiky. Popsal ji jako vlčí kost s vyrytými čarami, jež podle jeho názoru představují pojmy číselné, násobky pěti (pět prstů na ruce), jednou pět krát pět, podruhé šest krát pět. Považoval ji za nejstarší dokument pro dějiny matematiky na světě, což pozoruhodně dokladuje matematik Jaroslav Folta (Sloužil paleolitický předmět k bijekci mezi prvky dvou množin?) Tehdy to skutečně byl nejstarší předmět tohoto druhu na světě, a ani Absolonův odhad stáří se příliš neliší od dnešní datace, stanovené současnými metodami na 28 až 25 tisíc let. Ovšem od té doby se objevila řada dalších nálezů“ kost s vruby od osady Ishango u Edwardova jezera v Zaire, datovaná mezi 9 a 6,5 tisíce let před n.l., paviání kost s vruby v jeskyni v pohoří Lemombo v jižní Africe, která stářím odhadovaným na 35 tisíc let překonala i věstonickou vrubovku. Rovněž z Francie a ze Sibiře pocházejí obdobné archeologické nálezy.

Věstonická venuše na výstavě Lovci mamutů v Národním muzeu v Praze (Kredit:  „Petr Novák, Wikipedie“, pokud toto užijete mimo projekty Wikimedia)

Pro hůlky s vruby, se kromě slova vrubovka u nás používaly i termíny rabuše a rováše (podle etymoložky Pavly Loucké Rabuše, rováš, vrubovka). Tyto hole nebo laťky, které sloužily jako pomůcky k účtování. Dělaly se do nich zářezy, vruby, podle počtu dodaného zboží, pracovních jednotek, ovcí svěřených bačovi apod. Po zaplacení, odvedení nebo vůbec vyřízení věci se vrubová plocha seřezala zase na hladkou. Byly i rabuše dvojité. Když bylo třeba potvrdit výkon, například jízdu s naloženým vozem, části obou zúčastněných stran se přiložily k sobě a vrub se udělal najednou. Při účtování pak musely vruby souhlasit, jeden přiléhal k druhému. Později se rabuše říkalo i tabulím v hospodách, jak dosvědčují obraty piť na rováš (na dluh), udělat to svůj vrub (na svůj účet, na svou zodpovědnost), má u mne vroubek (nevyrovnaný dluh).

Vrubovka (rabuš, rováš), doklad početních schopností a abstraktního vyjadřování paleolitických lovců mamutů. (Kredit: K. Absolon)

Absolonova vrubovka není jediným nálezem svého druhu a dokladem početních schopností i grafického abstraktního vyjadřování paleolitických lovců mamutů od Dolních Věstonic a Pavlova pod Pavlovskými kopci (podle archeologa Bohuslava Klímy Lunární kalendář z Dolních Věstonic). Dne 13. srpna 1986 k ní při záchranném archeologickém výzkumu Bohuslava Klímy během těžby zeminy pro hráze Novomlýnských nádrží přibyla úzká tyčinka z šedavě okrového slínovce. Výzdobu tvoří krátké vrypy v příčném směru, které v podélné řadě následují rovnoběžně v naprosto pravidelném rytmu za sebou a které jsou šestkráte rozděleny vždy párem výraznějších rýh přes celou šířku tyčinky do pěti polí. Toto rozdělení vymezuje vymezuje skupiny o 5, 5, 7, 7 a znovu 5 členech, přičemž souhrn činí 29 uzavřených jednotek, což odpovídá počtu dní jednoho měsíce. Pozoruhodnější je ovšem pět odpozorovaných forem nebeského kotouče, které odpovídají skutečné délce jednotlivých fází jeho svitu. Předmět ležel v bezprostředním dosahu společného hrobu tří lidí a bezpochyby souvisel s rituálem pohřbu.

Nálezová situace hrobu byla rekonstrukcí podivuhodné tragedie, patrně obtížného chirurgického zákroku v podbřišku tělesně velmi postižené ženy, trpící snad předporodními nebo porodními křečemi. Odvážná operace se nezdařila a oba její aktéři, medicinman vybavený charakteristickými atributy šamana a jeho pomocník, byli násilně usmrceni. Uložili je do hrobu po obou stranách zemřelé pacientky, aby ji podle tehdejších představ doprovázeli v pokračujícím životě v záhrobí. Stejný úděl stihl i vrubovanou tyčinku. (Archeolog Bohuslav Klíma starší (*26. března 1925 Drahotuše +6. února 2000 Brno) v roce 1947 obnovil výzkumy Dolních Věstonicích a v Pavlově vedl systematický průzkum od roku 1952 do roku 1972).

Rhindův papyrus je označení svitku, který v roce 1858 koupil v Luxoru na třžišti skotský právník Alexander Henry Rhind, který se tehdy v Egyptě rekreoval. V roce 1864 artefakt získalo Britské muzeum v Londýně. Svitek je asi 30 cm široký a 5,5 m dlouhý. Pochází z hrobky v Thébách a je dílem písaře jmonem Ahmos. Je napsán hieratickým písmem, což je zjednodušená verze egyptského hieroglyfického systému. Zápis je z doby okolo roku 1650 před Kristem a matematici Ahmose označují za nejstarší známou osobu v dějinách svého vědního oboru. Papyrus obsahuje 86 úloh. Na pbrázku je jeden ze 14 listů na němž je napsáno: „Pravidla pro proniknutí do věcí, pro poznání všeho, co je, [všech] záhad, …, všeho skrytého. Tento svitek byl opsán 33. roku, 4. měsíce období záplav… a Dolního Egypta Auserrea, obdařeného životem, podle staré knihy sepsané v době….“ (Kredit: The British Museum)

K dochovaným matematickým památkám vztahujícím se k zemědělství

Od 8. tisíciletí před n. l., kdy se objevují nejstarší opevněná sídliště městského typu, se začíná rozšiřovat obdělávání půdy, pěstování zemědělských plodin a s tím také snaha o předvídání pravidelně se opakujících změn počasí. Různé kultury se v raném období civilizace vyvíjely samostatně a uzavřeně. Naše znalosti o jejich matematice jsou závislé na množství a kvalitě dochovaných písemných památek. V Mezopotámii se psalo na hliněné destičky, které se pak vypalovaly, takže přežily tisíciletí. V Egyptě se zapisovalo na papyrus, který se v suchém egyptském podnebí také mohl zachovat. Ale v Číně a Indii se zaznamenávalo na kůru a bambus, které rychle podléhaly zkáze. To je hlavní příčinou, proč známe hlavně egyptskou a mezopotamskou matematiku.

Většina našich znalostí pochází ze dvou matematických papyrů. Jsou jimi tzv. Moskevský papyrus pocházející z 19. století před n. l. a Londýnský (Rhindův) papyrus, který je asi o 200 let mladší. První z nich je značně poškozen; lze v něm přečíst 25 úloh s řešeními. Londýnský papyrus obsahuje 85 úloh a jejich řešení; asi 20 z nich se týká výpočtu ploch polí a objemu sýpek. Každý problém je řešen v konkrétních číslech. Přináší vždy recept řešení bez specifikace vzorce nebo metody, neboť pojem proměnné veličiny je v tomto období neznámý.

Egypťané prováděli výpočty obsahů ploch tak, že danou plochu rozdělili na trojúhelníky, spočítali jejich obsahy a ty potom sečetli. Obsahy trojúhelníků přitom určovali podle známého vzorce jako součin poloviny základny a výšky. Obsah kruhu o průměru d se v Rhindově papyru udává jako (d–d/9)², což by vedlo k hodnotě π=256/81=3,1605. Nalezneme zde několik formulí pro výpočet objemů, např. krychle, rovnoběžnostěnu a kruhového válce, obvykle ve zcela konkrétním tvaru (výpočty objemů nádob užívaných převážně k uchování obilí. Např. řecký matematik a historik Hérodotos (asi 484-430 před n.l.) napsal, že zemské daně okolo Nilu byly vybírány podle plochy a tak, když každoroční záplavy odnesly část půdy, bylo úkolem geometrů zjistit, kolik jí ubylo.

Současně s matematikou ve starém Egyptě se vyvíjela matematika v Mezopotámii. Nalezené hliněné tabulky s matematickými texty svědčí o vysoké úrovni jak aritmeticko-algebraických, tak i geometrických znalostí. Matematika v obou zemích měla mnoho společného. Vznikala jako praktická věda, aby usnadnila výpočet kalendáře, řízení sklizní, organizaci veřejných staveb a vybírání daní (podle matematiků Štefana Schwabika a Petry Šarmanové Malý průvodce historií integrálu).­

K dochovaným matematickým památkám vztahujícím se k vinařství

Johannes Kepler matematik a optik v díle Nova Stereometria Doliurum Vinariorum (Nová stereometrie vinných sudů), vydaném v roce 1615 použil pro výpočet objemu infinitezimálního přístupu. (Kredit: Wikimedia, volné dílo)

Německý matematik, astrolog a astronom Johann Kepler (*27. prosince 1571 Weil der Stadt nedaleko Württenburgu + 15. listopadu 1630 Regensburg) přichází do Prahy v roce 1600, aby se stal asistentem Tycho de Braheho, po jehož smrti v roce 1601 Kepler zaujal zaujal pozici císařského matematika a astrologa na dvoře císaře Rudolfa II. a na základě dat získaných Brahem Kepler určil elipsovitou dráhu planety Mars; v roce 1609 ve spisu Astronomia Nova formuloval Kepler své první dva zákony, kterými se řídí pohyb planet. V roce 1612 Kepler opouští Prahu a přesouvá se do Lince.

Podle legendy byla roku 1612 v Linci v Horním Rakousku, kde tehdy Kepler pobýval, mimořádně dobrá úroda vína. Víno se prodávalo téměř všude. Na jednou takovém trhu byl Kepler velice udiven, když prodavač, aby zjistil objem sudu, prostě strčil do otvoru po zátce měřící proutek a ze vzdálenosti tohoto otvoru od protější stěny vypočítal objem sudu. Tři dny hloubal Kepler nad problémem objemu vinných sudů, které pojal jako rotační tělesa, a úlohu rozřešil. Doufal, že vynalezne tvar sudu, který by při stejném povrchu měl větší objem, než sudy skutečně užívané. Přesvědčil se však, že rakouské sudy mají téměř ideálně účelný tvar, což ho přivedlo k výroku: Kdo může popřít, že lidská přirozenost sama, beze všeho hloubavého rozumového uvažování, učí základním pravdám geometrie?

Kepler ve svém díle Nova Stereometria Doliurum Vinariorum (Nová stereometrie vinných sudů), vydaném v roce 1615 počítal objemy těles, které vznikly rotací částí kuželoseček kolem osy ležící v jejich rovině. Kepler při svých výpočtech postupoval metodou rozdělení tělesa na nekonečně mnoho malých „kusů“, jejichž objem lze jednoduše výpočtem určit. Použil tedy úvahu, které se říká infinitezimální. Např. při určování objemu koule při známém povrchu rozdělil kouli na nekonečně mnoho jehlanů s vrcholy ve středu koule a základnou na povrchu koule a výškou rovnou poloměru koule. Sečetl objemy těchto jehlanů a dostal V = 1/3Ar, kde A=4πr² je povrch koule. Odtud získal objem koule V=4/3πr³.

Kepler podobných úvah použil k výpočtům objemů velkého množství těles používaných v praxi. Z hlediska důkazových metod se Kepler rozešel a archimédovským požadavkem přesnosti. Prohlásil, že Archimédovy důkazy jsou absolutně přesné, že je však přenechává lidem, kteří si chtějí dopřát přesné důkazy (Archimédes (asi 287-212 před n.l. v knize O kouli a válci, zachytil výrazy pro výpočet povrchu koule (povrch koule je rovný čtyřnásobku plochy její hlavní kružnice) a objemu koule (objem koule se rovná dvou třetinám bjemu jí opsaného válce); tohoto výsledku si zřejmě Archimédes velice cenil, neboť jak píše Cicero v knize Tuskulské hovory válec opsaný kouli si nechal vytesat i na náhrobek); tato jeho práce spolu s Měřením kruhu byla známa do 6. století; téměř všechny jeho současné překlady se opírají o řecké rukopisy, které byly opsány z originálu v Cařihradě v 9. století přeloženy do arabštiny, z ní přeloženy ve 13. století do latiny a znovu objeveny v 16. století.

K stávajícím matematickým památkám vztahujícím se k zemědělství

Možná, že evropské zemědělství ještě neřeklo poslední slovo a rébusy typu exportních dotací se ještě do dějin matematiky zapíše.