Zénón žil přibližně v letech 490 až 430 před n. l. a to v Eleji, řeckém městě v jižní Itálii. (Neměli bychom si ho plést s jiným a pozdějším Zénónem, z Kitia, zakladatelem stoické školy.) Drbů je o něm spousta, kupodivu pochvalných, ale konkrétní životopisné údaje žádné. Prý byl žákem a miláčkem Parmenida, ještě Platón připomíná jeho krásu. Prý se vyznamenal v politice, po neúspěšném pokusu o svržení tyrana však byl roztlučen v hmoždíři, ale ještě stačil vykonat několik hrdinských skutků. Na něčem z toho možná něco je. Podle Platóna také s úspěchem vyučoval, a to na způsob sofistů, i když to Platón nenazve tímto slovem, protože si je rezervuje pro pejorativní významy. Sofisty předjímá i Zénónovo dílo, zvláště upřednostnění toho, co je náležitě vysloveno, před jinými kandidáty na skutečnost. Své výklady prý také psal.

Většinou jde o systematické vyvracení námitek vůči Parmenidově vizi nehybného jsoucna. Vlastně exponuje paradoxy, avšak Aristotelés pro ty Zénónovy zavedl zvláštní přihrádku s označením „aporie“. Jejich vyvracení se totiž podrobně věnoval, považoval to za důležité. Po Aristotelovi pak znovu jeho pozdně antický komentátor Simplikios, stala se z toho standardní školní látka. Oněch aporií prý bylo nejméně osm. Tady jsem vybral tři, navíc ne v originálním pořadí, ale v takovém, které se mi zdá dobré pro výklad. Za nejvýznamnější považuju třetí.

A nelekněte se, jenom referuju, nezastávám to, jednak že nemiluji křížovky, jednak že důvěřuju spíš tomu, co vidím a ochutnám.

Želva zelenavá, prý se potká i v jižní Itálii (ale nevyznám se v tom, přinejmenším podobné potkávám v Řecku). Kredit: Wikimedia Commons.

Achilleus a želva

Želvu nehonil Zénón sám, najal si na to, byť pouze literárně, homérského hrdinu Achillea (viz fotogalerii Achillea), protože ten byl považovaný za nejrychlejšího běžce. Přesto prý nedožene ani příslovečně pomalého živočicha, chudinku želvu.

Zénónovým záměrem samozřejmě není diskutovat rychlosti pohybu Achillea a želvy a kritizovat obecné mínění o tom. Cílem je ukázat, že pohyb není přísně vzato myslitelný, protože myslitelná a tudíž možná není žádná změna. Někdo by třeba mohl oponovat proti Parmenidově tezi o nehybnosti jsoucího tím, že by začal přecházet a poskakovat, prý to občas někdo dělal i Zénónovi. Dotyčný naivka tím však ukazuje pouze to, že vůbec nepochopil, o co jde. Nikdo přece nehodlá vyvracet, že vidíme pohyblivé věci. Takové zdání je samozřejmě klamné. Zénón považuje za skutečné („jsoucí“) pouze objekty myšlené logicky uchopenou řečí. Ta by sice dokázala popsat změny nějakými úměrami (matematicky trojčlenkou nebo raději diferenciální rovnicí), ale Zénón by přinejmenším tu trojčlenku stejně zpochybnil, k čemuž ještě přijdeme. K nepochybné manifestaci nemožnosti pohybu je nutno zavést zvláštní formální pravidla. V daném případě závodu Achillea s želvou budou vypadat takto:

Želva dostane náskok, startuje z místa, které je blíže cíli. Tato zdánlivá velkorysost je nutná, samozřejmě se brzy obrátí proti smyslu atletického děje. Na povel „start“ Achilleus a želva vyběhnou, ale se oba zastaví právě tehdy, když Achilleus doběhne na místo, odkud startovala želva. (No, chtěl bych vidět, jak by se to realizovalo.) Vzdálenost mezi nimi se zmenšila, ale zatím ji nedoběhl. Má k tomu ještě neomezený počet příležitostí, jenže podle téhož pravidla, takže postupnou iterací se pouze stále pomaleji zmenšuje vzdálenost mezi nimi, ale nikdy nebude nulová.

Vtip nespočívá ani tak v záměně reálných objektů, které mají velikost, za matematické body; to by ještě mohlo být docela legitimní matematické modelování, v němž reálné objekty nahradíme formálními, pokud pak výsledek umíme interpretovat zpátky v reálném (podle Eleatů ovšem zdánlivém) světě. Podivně působí spíše čas zavedený odpočítáváním jednotlivých kroků podivného závodu. Kdo něco tuší o konečných součtech některých nekonečných posloupností, ten by na tohle neskočil.

Letící šíp stojí

Tato aporie působí méně zábavně, protože se při ní nic neděje. I letící šíp by měl být vždy někde, aby vůbec byl. Jenže pokud je někde, tak tam prostě je, nehýbe se. A když se nehýbe a zůstává tam, tak nikam neletí, ale stojí.

Schválně jsem to přeříkal tak, aby vynikla naivita. Na důvtip totiž teprve dojde: Když tedy letící šíp stojí, ale přesto jakoby někam doletěl, tak buď musíme veškerý pohyb prohlásit za smyslový klam, nebo raději předpokládat, že jde o sekvenci statických „nyní a někde“ v tak rychlém sledu, že se nám jeví jako plynulý pohyb. Pak je to klam o dost mírnější, něco jako kinematograf nebo stroboskop. (Takhle to řešil už Aristotelés, prý ale v opozici vůči Zénónovi.)

Problémem ovšem je, zda prostor i čas jsou dělitelné na tak malé veličiny, a zda jsou dokonce neomezeně dělitelné. To bude tématem další aporie, která ukáže, že ani kinematograf k pohybu šípu důsledně vzato nepomůže. Navrhované kinematografické řešení je poněkud atomistické, div ne kvantové, neboť pracuje se sice dost malými, leč stále konečnými veličinami. (Raději se v Zénónově a Aristotelově přítomnosti nebudeme ptát, jak je to „opravdu“, tedy ve smyslu fyzicky, a jak funguje naše vnímání a naše myšlení.)

Z jednoho místa na druhé nikdy nedojdeš

Nejen že nikdo nedohoní želvu, ale nikdo dokonce ani vůbec nikam nedojde, ani ta želva. Proč?

Abych došel z jednoho místa na jiné, musel bych nejprve dojít do poloviny cesty. To se zdá být často dobře možné, ale pozor, to bych musel napřed dojít do čtvrtiny! (Byla by to dobrá výmluva pro absenci na schůzi.) Další rozvoj má v praxi za následek, že pro samé počítání vyšších mocnin dvou (nejsem-li programátor starší generace, který je zná zpaměti) zůstanu stát na místě. Takhle to ovšem Zénón nemyslel, aspoň nejde o to hlavní. Skutečná mysl prý přece není časná, nepotřebuje čas, podobně tomu, jako je Jedno věčné a vždy přítomné, ne v průběhovém čase, který patří ke zdání vznikání, proměn a zanikání.

Úloha je geometrická. Dráhu mezi místy si nahradíme (aproximujeme) úsečkou, ani ne moc dlouhou. Napřed je dobré vědět, že před klasickou dobou není příliš vypracovaný nějaký pojem místa v prostoru. Místo je prostě něčím zaujímáno, často něčím, co by se mohlo přesunout jinam a tím to místo uvolnit pro něco jiného. A po celou antiku platí, že se vlastně nerozlišuje mezi úsečkou a přímkou, protože vždy jde o konečné velikosti, ale libovolně nastavitelné. Je to konečné, ale nemá to žádnou maximální dovolenou mez. Pro jednoduchost teď budu říkat "úsečka“, abych nepřekvapoval přesnějším překladem „přímá“.

Co by mě mohlo zdržet při procházení úsečkou? Podle Zénóna to, že bych musel procházet všemi body, které na ní jsou (dnes by se řeklo: ze kterých sestává, jejichž množinou je). A těch je nespočetně, což předvedl s tou řadou mocnin dvou, nemluvě o mnoha jiných bodech.

Do té doby snad nikoho nenapadlo, že by na úsečce byly nějaké jiné body, než které tam někdo udělal, krom těch nepříliš četných, které jsou určené tím, že se třeba kříží s jinou úsečkou, nebo že tam prostě něco je. Opravdové něco, ne nějaký myšlený bod. Najednou jsou myšlené body skutečnými. Je to vlastně podobné nároku na žáka novodobé elementární geometrie, když má od schopnosti myslet, definovat a označovat body na úsečce přejít k definici, že úsečka je „množina bodů“. Kde se tam vzaly? Ještě k tomu v takovém množství! Nekonečně bodů v konečném prostoru, dokonce už v 1D.

Jeden z možných výkladů této aporie je, že Zénón ukazuje na chybějící koncept infinitezimální veličiny. To velmi brzy začne napravovat Anaxagorás, důkladněji pak časem Archimédés, a od Leibnitze už povede cesta k modernímu pojetí infinitezimálního počtu.

Závěrečné dědkovské ponaučení

Vždy je ovšem dobré rozlišovat, kdy děláme schválnosti, chytáme za slovo a vytahujeme se tím, – a kdy zábavně poukazujeme na nedostatečné teoretické zvládnutí něčeho opomenutého. V prvním případě to připomíná spíš manželskou hádku nebo politické a hlavně právnické spory.

Literatura

Z. Kratochvíl: Alternativy (dějin) filosofie. Červený Kostelec: Pavel Mervart, v přípravě tisku pro rok 2019 (asi podzim).

G. S. Kirk, J. E. Raven, M. Schofield: Předsókratovští filosofové. Praha: Oikoymenh, 2004. – Tradičněji až scholastičtěji laděný výklad, nicméně klobouk dolů před českými překladateli (F. Karfík, P. Kolev, T. Vítek).

Z. Kratochvíl: Obrana želvy, kterou nedoběhne žádná zchytralost. Praha: Malvern 2003. – Stará online verze, nyní už značně trapná.

Díogenés Laertios: Životy, názory a výroky proslulých filosofů. Pelhřimov 1995. – Roztomilé drby zapsané v 3. století n. l.

http://www.fysis.cz/presokratici/zenonE.htm – Překlady i originály fragmentů Zénóna z Eleje a testimonií o něm na mém starém webu.