Archytás z Krotónu je nejracionálnější z pythagorejců, bezpochyby významná postava. Státník, filosof, matematik a mechanik, přítel a inspirátor Platóna, učitel Eudoxa z Knidu. Přesto je obestřen řadou podivností. Na jedné straně zakladatel mechaniky jakožto vědy, na druhé straně svérázný politik a oblíbená postava romantizujících legend o matematických problémech, a to už v antice. Archytova inženýrská mysl hýří optimismem stran poznání světa i uspořádání politiky, ale zásadní překážkou našeho pochopení, jak to vlastně myslel, je špatné zachování jeho díla a pak ta dodatečná legendarizace, o kterou si možná sám koledoval. S určitým rizikem se přesto pokusím napsat něco o jeho konceptu matematizace světa, o politických aspektech matematiky, potenciálním nekonečnu, problému zdvojení krychle a nakonec o záhadném létajícím strojku. Přeskočím téma matematického popisu hudební harmonie, protože jsem se mu věnoval už při výkladu Filoláa, kde k němu byl mnohem spolehlivější základ v zachovaném textu. Filoláos prý byl jeho učitel.

Archytás se narodil kolem roku 428 v Tarentu, v řeckém městě na jihu italské pevniny, zemřel kolem 350 před n. l. Nakolik můžeme důvěřovat pravosti Platónových Listů, tak Archytás byl nejen jeho blízkým přítelem, ale také ho zachránil ze zajetí v sicilských Syrakusách. Každopádně byli vrstevníci (Platón byl jen asi o rok mladší) a měli podobné zájmy.

Číslo a velikost

Archytás prý „vše převádí na dvě spřízněné podoby jsoucna", totiž na „číslo a velikost". Číslo a číselné vztahy považoval za základ poznatelnosti už Filoláos, ale Archytás jde o krok dál, ukazuje možnost matematizace i tam, kde nejde o celočíselné poměry, tedy o harmonii ve Filoláovu smyslu.

Archytás vidí na věcech velikosti – a právě ty velikosti chce popisovat číselně. V jistém smyslu předjímá fyziku v novodobém smyslu slova, když se zaměřuje na matematický popis veličin. V Archytově výrazně inženýrské mysli se svět stává souborem veličin a takto je pak popsatelný matematicky. Je to předloha Descartova inženýrského popisu věcí ve světě jako „věcí rozsažných“, ale Archytovo ego se zatím spokojuje s politikou v Krotónu a neaspiruje na nepochybný základ zřejmosti všehomíra. Společný je těmto pánům právě a jen onen inženýrský pohled, totiž chápání světa jako souboru svého druhu strojů, ovšem ideálních strojů, ne takových obhroublých, jaké my děláme. Díky tomuto pohledu na svět, následovaném matematickým popisem, je pak možné konstruovat nové a dosud netušené stroje. To prý už Archytás opravdu dělal. Z jedné strany viděno je to geniální, plodné a nesmírně účinné, z druhé strany se naskýtá otázka, zda pak nezapomeneme na to, že takovýto popis začal jako náš dosti účelový podnik.

Archytás možná předjímal Descarta i v řadě dalších témat. Asi zavedl deskriptivní geometrii, možná pracoval i s pravoúhlými souřadnicemi, které dnes nazýváme „karteziánské“. (Descartův objev nejsou ony souřadnice, ale zavedení analytické geometrie v jejich rámci.) Pokud jde o matematizaci přírody a aplikace tohoto postupu v teoretické i praktické mechanice, tak se celkem jasně rýsuje řada: Archytás, Archimédés, Descartes.

Mramorová deska s vyrytými hudebními nebo matematickými symboly. Kredit: Wikimedia Commons.

Někdy máme potíže s překladem, proto jsem se zatím uchyloval k obecnému pojmu „matematický“, třeba matematický popis velikostí. S tím však nemůžu pokračovat v případech, kdy Archytás rozlišuje postup aritmetický a postup geometrický, dokonce dává tomu aritmetickému přednost před geometrickým jako účinnějšímu. Problém je v tom, že ve významu slova aritmetika zatím používá slovo logistika, které má dnes úplně jiný význam. Určitě nehodlá před tradičnějším geometrickým řešením upřednostňovat stěhováky, nýbrž aritmetický postup. (Algebra je až mnohem pozdější výdobytek, napřed indický, od přibližně roku 1000 importovaný arabským prostřednictvím do Evropy.)

Matematické poměry a spravedlnost

Archytás nespatřuje matematicky popsatelné veličiny jenom v přírodě, ale taky v životě lidské obce. Není jen strojař, ale taky ekonom, což se opět ukáže jako mince o dvou stranách. Příkladem je trh. Nejjednodušší je to s dlouhodobě stabilními směnnými hodnotami, např. jedna dívka (otrokyně) za čtyři krávy, a jaká dívka, takové krávy, platilo před zavedením peněz i po něm. Tento příklad ovšem Archytás neuvádí, protože ho zajímají spíš ty veličiny, dokonce v přímo fyzikálním smyslu, totiž délky a váhy (hmotnosti). Standardizace délkových a váhových jednotek probíhala přinejmenším už od rané doby bronzové, jenže Archytás nehodlá nic ponechat živelnému vývoji a lpí na formálně definovaných standardech. Vědec ve smyslu matematika a fyzika se v něm potkává s etatistickým politikem. Příklad poctivých měr a vah zobecňuje do představy, že správně nastavené matematické poměry jsou základem spravedlnosti zcela obecně, že dokonce mohou být zárukou stability obce. Za příklad má výpočet daní. Patrně má na mysli nějaké koeficienty, jimiž se dosahuje z jeho pohledu ideální rovnováha mezi záslužností a sociálními ohledy. Připomíná to daňové procentní ekvilibristiky v novodobé politice a ještě více dost složité vzorečky pro rozdělování peněz v univerzitním prostředí podle řady různých koeficientů. O ty koeficienty se svádí boj, ale pak už se to počítá samo, s iluzí objektivity a spravedlnosti. Tím to nechci úplně shodit, protože to je opravdu lepší než tupý diktát nebo dokonce rvačka.

Mramorová deska s vyrytými hudebními nebo matematickými symboly, detail. Kredit: Wikimedia Commons.

Archytás přisuzuje matematice také roli výchovnou. K respektu vůči standardizovaným mírám i vůči vzorečkům pro výpočet daní je třeba občany vychovat. Počítat sice dávno umí, ale teď mají díky výuce matematiky pochopit i to, že prostředek tržní férovosti, sociální spravedlnosti a vědeckého popisu světa je jeden a tentýž. Matematika má být základem každé vědy i základem státu. Tak se zrodilo sociální inženýrství, se všemi kýženými i obávanými možnostmi. Nějak do toho byla zapojená i hudba, a to nejen hudební teorie, ale i výchovný efekt hudby jako takové. Nemá se hrát jen tak kdeco, má to být harmonicky výchovné.

Pěknou analogií problémů při výkladu Archytových nauk je předmět, který vystavuje Archeologické muzeum v Lavriu: Mramorová deska s vyrytými podivnými symboly. Byla vyrobená koncem 4. století před n. l. a několik staletí stála na jednom tržišti (agoře) v okolí mysu Sounion. Význam oněch symbolů vykládají znalci dvěma možnými způsoby: Buď je to notový záznam, možná nejstarší – nebo početní pomůcka pro doslova tržní hospodářství!

Nekonečný vesmír a potenciální nekonečno

Aristotelský matematik Eudémos cituje tuto Archytovu větu:

„Kdybych se ocitnul co nejdále, třeba v nebi stálic, mohl bych dál natáhnul ruku nebo hůl ven – nebo nemohl? To, že bych nemohl, je nemožné. Pokud však natáhnu, pak bude vně buď těleso nebo místo [výkladově: prostor].“

Úvaha je zvláštní tím, že jde o myšlenkový experiment, který si nedělá žádné starosti s tím, jak se na takové místo dostat, ani s tím, jestli je možné na něm zůstat živý. Také argument „To, že bych nemohl, je nemožné“ ukazuje, že jde spíše o možnost formální než o konkrétní strkání ruky kamsi mimo biologické limity života. Napřed se vymyslela sféra stálic a teď se máme natahovat za ni. Terminologicky zajímavá jsou závěrečná slova „těleso nebo místo“. Pythagorejské (a zčásti ještě i aristotelské) matematice totiž dlouho chyběl obecný pojem prostoru. Hlavně však jde ještě o něco jiného, totiž o ukázkový příklad tzv. potenciálního nekonečna.

Jedno z typických zobrazení Apollónova oltáře na Délu v klasické době. Kredit: Wikimedia Commons.

Přinejmenším od Newtona (a pak Cantora) jsme zvyklí na tzv. aktuální nekonečno, tedy jakési opravdové, skutečné nekonečno. Když se mluví třeba o přirozených číslech (množině všech přirozených čísel), tak nikoho nenapadne, že by je měl po jednom přepočítat, jestli jich je opravdu nekonečno, nebo to nekonečno teprve začít iterativně vytvářet. Stejně je tomu i s množinou bodů úsečky, přestože jde o konečný objekt. Přitom i pro nás zůstávají konečné objekty zásadně odlišné od nekonečných, třeba úsečka od přímky. Antika (i většina středověku a renesance) pracuje s mnohem slabší představou nekonečna. Vlastně jde vždy o konečné objekty, ale takové, že nemají největší dovolenou mez, vždy je možné přidávat, připočíst další číslo nebo nastavit úsečku. Tato jejich otevřenost k nekonečnu je právě tím potenciálním nekonečnem. Takhle se v Řecku myslelo už od rané klasické doby (asi už Zénón, určitě Anaxagorás), ale teď se to řádněji formalizuje a ukazují se také paradoxy takového přístupu.

Eudémos ještě sám komentuje Archytův příklad slovy: „Tímto způsobem tedy stále půjde, vždy k následujícímu pomezí a bude se takto tázat. A pokud vždy bude něco jiného, kam dosáhne hůl, je zjevné, že je nekonečno.“ Tento Eudémův komentář je možná kandidátem i na trochu silnější pojetí nekonečna, ovšem podle toho, jak porozumíme možnostem iterací, které má na mysli. Rozhodování o tom rád přenechám specialistům na dějiny matematiky, nejsou v tom tak úplně zajedno (což platí už i pro Anaxagorův pojem infinitezimální veličin).

Pamatuju se na milé obrázky mnicha klečícího na konci světa, který holí prošťuchuje nebeskou sféru, čímž ukazuje, že za ní musí ještě něco být. Chtěl jsem nějakým přizdobit titulek článku, ale žádný jsem nenašel. (Možná jen špatně hledám, protože jsem zvyklý na vlastní fotky a fotky kamarádů, ale smršť věšteb o konci světa, filmů s podobným názvem a drsných gamesek, která se po zadání klíčových slov vyjeví, svědčí o proměně doby.)

Zdvojení objemu krychle

Hlavní oltář Apollónova chrámu na Délu (vlevo). Kredit: Wikimedia Commons.

Sám slovutný Eratosthenés vypráví také legendu, že se obyvatelé posvátného ostrova Délu obrátili na Platóna s prosbou, aby vyřešil problém zdvojení objemu krychle. Prý byli postiženi morem, proto se obrátili na věštírnu v Delfách, a Apollón si vyžádal nový oltář, který má mít dvojnásobný objem než ten starý. Platón prý tímto „Délským problémem“ obeslal spřízněné matematiky a dostal hned tři řešení, autory byli Archytás, Eudoxos a Menaichmos (teoretik kuželoseček v 4. století před n. l.). Eratosthenés (276-194 před n. l.) nebyl žádný pythagorejec ani platonik, ale střízlivý pan vědec: Pomocí gnómónů v Alexandrii a v Asuánu změřil poloměr Země, psal o hypotetické námořní cestě do Indie přes západ a započal i teorii chyb měření.

Samozřejmě jde o problém poměru jedna ku třetí odmocnina ze dvou. Plútarchos tvrdí, že Platón Archytovo řešení nepovažoval za ideální (dnes bychom řekli: analytické), ale za mechanické. To je stejná námitka, s jakou se bude setkávat Archimédés. (No, ani v naší době není newtonovská numerická integrace vždy jen zdrojem nadšení. V zásadě o ní platí: Nesportovní, ale účinné!)

Legendy rády situují slavné lidi i slavné problémy na slavná místa. Jedním z takových je posvátný ostrov Délos. Platón pro něj má zvláštní slabost, tedy pro poutě na něj, zvané theórie, je to v jeho očích málem metafora filosofie. Jenže z toho, co o dění na Délu v této době víme, se nezdá být moc pravděpodobné, že by tam měli takovéto starosti. A do toho, co víme o Apollónovi (jeho fotogalerie je tady), nijak nezapadá, že by takové starosti měl bůh sám. Další problém je, že z archeologických nálezů, vázových maleb i textových popisů známe mnoho rozličných oltářů na Délu, ale žádný z nich nemá tvar krychle. Typický délský oltář Apollónovi vypadá jako nízký ambon v sousedství velkého květináče s mladou palmou. (Oltář stál samozřejmě před chrámem, ne v něm.)

Mechanická holubice

Poznámka redakce:

Dovolujeme si upozornit na autorovu knihu: Filosofie mezi mýtem a vědou (Od Homéra po Descarta). Praha: Academia, 2009.

Školní příručka dějin filosofie od antiky do renesance, v kontextu dějin vědy a ostatní kultury.

Aulus Gellius, latinský vypravěč v 2. století n. l., zaznamenává tuto zvláštnost:

„Avšak to, co se podává jako vynález pythagorejce Archyta, se zdá být neméně pozoruhodné, ale i tak je radno tomu věřit. Vždyť mnozí vznešení řečtí autoři i filosof Favorinus (Favórínos), který výtečně znal staré památky, zcela přesvědčivě psali, že soška holubice, kterou Archytás udělal ze dřeva, létala podle výpočtů mechanické nauky; zřejmě byla nadlehčená pružinami a skrytě poháněná vanutím větru.“

Tomu by málokdo věřil, kdyby Gellius neocitoval slova řecky píšícího římského sofisty Favorina: „K tomu se sluší uvést slova samotného Favorina: ‚Archýtás z Tarentu byl také mechanik, když zhotovil dřevěnou holubici, [která] jakmile se vznesla, už znovu nevzlétla. Dokud totiž [porušený text].‘“

Většina interpretů tomu celkem věří, i když předpokládá, že to Gellius nějak pomršil, zvláště v dovětku „zřejmě byla nadlehčená pružinami a skrytě poháněná vanutím větru“. Nejspíš šlo o klouzavý let nebo plachtění, což ovšem předpokládá nějaký start. Jednorázovost se asi týkala právě startu. Možná šlo o nějaký jednoduchý reaktivní pohon, podle jedněch na stlačený vzduch, podle jiných na páru (přehřátou natlakovanou vodu) nebo stlačeným vzduchem poháněnou vodu (což silně připomíná některé novodobé dětské hračky). Těžko říct, ale na gumičku to určitě nebylo. Každopádně je zajímavé, jak se pythagorejská obliba zázraků přesunula na technickou úroveň, létající hračka místo levitace muže božího. Tohle platí i v případě, že by se slavnému Archytovi zpětně připsala nějaká trochu pozdější hračka.

Literatura

http://www.fysis.cz/presokratici/pytp/archytas.htm – Překlady i originály fragmentů Archytova díla a testimonií o něm na mém starém webu.

https://plato.stanford.edu/entries/archytas/ – Heslo Archytas in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.

(Aulus Gellius: Atické noci. Bratislava: Tatran 1987.)

Mnich na konci světa vykukuje za sféru stálic. Kredit: Keplerovo muzeum.

Aspoň dodatečně můžu jeden takový pěkný obrázek mnicha na konci světa ukázat. Svět je někdy nečekaně vstřícný.

Ozval se mi totiž kamarád, čtenář Osla a zasloužilý velitel Keplerova muzea – a obrázek přiložil.

Je to rytina z roku 1888, je z Keplerova muzea, původně byla ilustrací k jedné Flamarionově knize. (Taky vidím, jak špatně jsem hledal, viz Flammarion engraving).